뷰변환 행렬에 대해 살펴보기 전에 짚고 넘어가야 할 문제가 있습니다. OpenGL과 D3D를 말할 때 가장 큰 차이점으로 오른손 좌표계냐 왼 손 좌표계냐를 따집니다. 그리고 또 하나 얘기하는 것이 바로
행기준 행렬이냐
열기준 행렬이냐는 것이죠...
좌표계 문제는 Z좌표를 뒤집기만 하면 끝납니다. 앞에서 살펴봤던 회전행렬 역시 오른손 좌표계가 오른손 법칙으로 양의 방향을 규정하는 것 처럼 왼손 좌표계는 왼손이 감기는 방향을 양의 방향으로 하기 때문에 회전행렬을 그대로 쓸 수 있습니다. 양의 방향에 해당하는 좌표평면과 축을 2차원에 설정해 그려보면 금방 알 수 있습죠...
오른손 좌표계와 양의 회전방향
(오른손으로 Z축을 감아쥘 때 나머지 손가락들의 방향으로 회전)
왼손 좌표계의 양의 회전방향
(왼손으로 Z축을 감아쥘 때 나머지 손가락들의 방향으로 회전)
때문에 기본적인 것만 명심하면 그다지 헷갈릴 이유가 없죠... 하지만 OpenGL에서 사용하는 열기준 행렬과 D3D의 행기준 행렬이란 녀석들은 확실하게 그 차이를 이해해 두지 않으면 두고 두고 뒤통수를 맞게 됩니다.
참고로 양키들은 행기준 행렬(Row major matrix) 의 곱셈을 프리멀티플리케이션(Pre-multiplication), 열기준 행렬(Column major matrix) 의 곱셈을 포스트멀티플리케이션(Post-multiplication) 이라고 구분해서 쓰더군요.
아무튼 우리가 일반적으로 사용하는 행기준 행렬은 아래처럼 정의되고,
A(Row) = | a00 a01 a02 a03 |
| a04 a05 a06 a07 |
| a08 a09 a10 a11 |
| a12 a13 a14 a15 |
OpenGL 레퍼런스에 따르면 열기준 행렬은 다음과 같이 생겨먹었습니다.
A(Col) = | a00 a04 a08 a12 |
| a01 a05 a09 a13 |
| a02 a06 a10 a14 |
| a03 a07 a11 a15 |
행기준 변환행렬 A에 의해 절점 P(x,y,z,w) 가 새로운 절점 P'(x',y',z',w') 로 변환하는 과정을 살펴보죠. 고등학교 때 배웠듯이 행렬의 곱셈이 성립하려면 행과 열의 갯수가 같아야 하므로 다음과 같이 적어줍니다. (행렬의 어떤 요소끼리 곱하는지 손가락으로 짚으면서 보세요.)
| x' y' z' w' | =
| x y z w | × | a00 a01 a02 a03 |
| a04 a05 a06 a07 |
| a08 a09 a10 a11 |
| a12 a13 a14 a15 |
x' = x*a00 + y*a04 + z*a08 + w*a12
y' = x*a01 + y*a05 + z*a09 + w*a13
z' = x*a02 + y*a06 + z*a10 + w*a14
w' = x*a03 + y*a07 + z*a11 + w*a15
원래 열기준 행렬은 절점, 또는 벡터를 표현하는 행렬을 세로, 즉 열로 표현하기 위해 사용합니다. 벡터 V(x,y,z,w) 에 변환행렬이 적용된 새로운 벡터 V'를 계산하는 과정을 열기준 행렬로 표현할 때는 다음과 같이 적어 줍니다.
| x' | | a00 a04 a08 a12 | | x |
| y' | = | a01 a05 a09 a13 | × | y |
| z' | | a02 a06 a10 a14 | | z |
| w' | | a03 a07 a11 a15 | | w |
풀어보면 다음과 같습죠. (손가락을 짚으면서 보세요.)
x' = a00*x + a04*y + a08*z + a12*w
y' = a01*x + a05*y + a09*z + a13*w
z' = a02*x + a06*y + a10*z + a14*w
w' = a03*x + a07*y + a11*z + a15*w ... ①
비교해 보나 마나 같은 결과 입니다. 엄밀히 말해 열기준 행렬은 열-행 순으로 곱하기 때문에 순서는 그대로 두고 다음과 같이 표현하는 것이 맞습니다. (손가락... 잊지 마시구..)
| x' | | x | | a00 a04 a08 a12 |
| y' | = | y | × | a01 a05 a09 a13 |
| z' | | z | | a02 a06 a10 a14 |
| w' | | w | | a03 a07 a11 a15 |
x' = x*a00 + y*a04 + z*a08 + w*a12
y' = x*a01 + y*a05 + z*a09 + w*a13
z' = x*a02 + y*a06 + z*a10 + w*a14
w' = x*a03 + y*a07 + z*a11 + w*a15 ... ②
그러나 OpenGL에서는 ① 에서의 방법으로 행렬을 표시하고 곱해주네요. 이미 깨달으신 분도 계시겠지만, ② 의 방법처럼 열-행으로 곱해주는 것은 같은 내용을 행기준으로 표시하고 행-열 순으로 곱해주는 것과 같습니다. 이렇게 곱하는 방식이 행-렬이냐 열-행이냐에 따라 곱하는 순서가 바뀝니다. 중요하니까 꼭 기억하세요.
행렬끼리의 곱셈도 살펴보죠.
먼저 행기준 행렬의 곱셈을 풀어서 써 봅시다. 행-열 순으로 곱합니다. (마찬가지로 손가락으로 잘 짚으면서 보세요..)
R(Row) = M(Row) * T(Row)
| r00 r01 r02 r03 | | m00 m01 m02 m03 | | t00 t01 t02 t03 |
| r04 r05 r06 r07 | = | m04 m05 m06 m07 | × | t04 t05 t06 t07 |
| r08 r09 r10 r11 | | m08 m09 m10 m11 | | t08 t09 t10 t11 |
| r12 r13 r14 r15 | | m12 m13 m14 m15 | | t12 t13 t14 t15 |
r00 = m00*t00 + m01*t04 + m02*t08 + m03*t12
r01 = m00*t01 + m01*t05 + m02*t09 + m03*t13
r02 = m00*t02 + m01*t06 + m02*t10 + m03*t14
r03 = m00*t03 + m01*t07 + m02*t11 + m03*t15
r04 = m04*t00 + m05*t04 + m06*t08 + m07*t12
r05 = m04*t01 + m05*t05 + m06*t09 + m07*t13
r06 = m04*t02 + m05*t06 + m06*t10 + m07*t14
r07 = m04*t03 + m05*t07 + m06*t11 + m07*t15
r08 = m08*t00 + m09*t04 + m10*t08 + m11*t12
r09 = m08*t01 + m09*t05 + m10*t09 + m11*t13
r10 = m08*t02 + m09*t06 + m10*t10 + m11*t14
r11 = m08*t03 + m09*t07 + m10*t11 + m11*t15
r12 = m12*t00 + m13*t04 + m14*t08 + m15*t12
r13 = m12*t01 + m13*t05 + m14*t09 + m15*t13
r14 = m12*t02 + m13*t06 + m14*t10 + m15*t14
r15 = m12*t03 + m13*t07 + m14*t11 + m15*t15 ... ③
다음에는 열기준 행렬의 곱셈을 보겠습니다. (손가락...)
R(Col) = M(Col) * T(Col)
| r00 r04 r08 r12 | | m00 m04 m08 m12 | | t00 t04 t08 t12 |
| r01 r05 r09 r13 | = | m01 m05 m09 m13 | × | t01 t05 t09 t13 |
| r02 r06 r10 r14 | | m02 m06 m10 m14 | | t02 t06 t10 t14 |
| r03 r07 r11 r15 | | m03 m07 m11 m15 | | t03 t07 t11 t15 |
r00 = m00*t00 + m04*t01 + m08*t02 + m12*t03
r01 = m01*t00 + m05*t01 + m09*t02 + m13*t03
r02 = m02*t00 + m06*t01 + m10*t02 + m14*t03
r03 = m03*t00 + m07*t01 + m11*t02 + m15*t03
....(나머지는 스스로..) .... ④
열기준 행렬과 행기준 행렬의 곱셈은 ③과 ④에서 보듯 전혀 다른 결과
[산수 02] 행기준 행렬과 열기준 행렬
